1　引言

　　随着非线性科学的发展，图像纹理分析出现了新的进展。特别是1975年，曼德尔布罗特（Mandelbrot）以“分形：形状、机遇和维数”为 名发表的专著中，第一次系统地阐述了分形几何的思想、内容、意义和方法。把分形理论推进到了一个迅猛发展的新阶段。后来出现了将分形理论应用于各个领域中 的新高潮。如在物理的相变理论，材料的结构与控制，力学中的断裂与破坏，高分子链的聚合，模式识别，自然图形模拟，酶的生长等领域都取得了令人瞩目的成功 [1-5]。

　　在医学图像纹理识别方面，最近十多年来，分形理论也有大量的应用报道[6-7]，特别是最近几年，一些学者逐渐地把分形几何运用到肝脏超声图像 纹理分析以及相应的疾病分类方面的研究[8-9]，并且已经取得了一些初步的成绩，但未见把分形几何用在肺部CT图像方面的研究报道。本文针对人体肺部 CT图像，将分形理论运用到肺部软组织图像中进行分析处理，研究中发现：人体肺部组织的纹理具有分维特征，正常肺部组织的分维数值小于肺癌软组织的分维数 值，同时还对肺部软组织的不同部位进行了一些相关性的研究。这些研究结果都将为医学图像的计算机辅助诊断提供一些有利的依据。

2　实验材料及实验方法（差分盒数计数法）

　　从CT成像的原理可知，像素点上的灰度值大小取决于相应的肺部组织对X线的吸收程度。当组织表现病变时，其相应的组织对X射线的吸收程度（即密 度）也将会发生相应的变化。这就是CT诊断技术所依据的原理。由于CT图像灰度表面的几何性质主要体现在它的灰度值大小和方向性上，不像几何尺寸规则的、 光滑的表面（如平面、球面、锥面），所以它在一定范围内具有标度变化下的不变性，也就是所谓的“无标度性”，即属于“分形体”。下面就肺部软组织CT图像 的特点，作者采用一种差分盒计数法（Differential Box Counting—DBC），对正常肺部软组织和肿瘤软组织的灰度图像进行相关的分形维数计算，通过对计算结果的分析得出一些定性的结论。

2．1　实验材料　实验中所使用的CT图像是由解放军第533医院CT室，采用岛津4800TE-CT扫描仪获得的肺部CT图像，扫描时的组织厚度 为10mm，管电压为150kV，管电流为100mA。正常肺部软组织、病变肺部软组织图像若干幅，图1为所选取的（256×256）点阵的ROI（感兴 趣区域）区域正常肺部软组织、肺部癌变软组织图像。

．2　实验方法（差分盒计数法）　Mandelbrot[1]指出，表面是否具有分形特性的一个准则是它是否具有自相似性。自相似性可用下面的方法 来定义，即，假设在一个n维的Euclidean空间里有一个有界集合A，当A可以表示成它自身的Nr个不重叠的复制的联合，且每个复制与按比例缩减r倍 的A类似，则集合A称为自相似集合。集合A的分形维数D可用下面的公式计算得到：

1＝NrrD　　　　　　　　　　　（1）

　　或　　　 (2)

　然而，实际上的自然景物并不显示出确定的自相似性，相反，它们显示出来的是一种统计自相似。即，如果景物在所有的n维上按比例r缩小，那么它成为与原形统计相似，于是满足等式（2）。

　　直接用（2）式计算D是困难的。Gangepain用了一个近似方法，即网状的单元计数方法[10]。考虑将图像看成三维欧氏空间中的一个表 面，其高度等于该点的图像灰度值[11]。对于一个给定的尺度L，将三维空间划分成L×L×L’，L是坐标（x，y）上的像素个数，L’是坐z标轴方向的 灰度级单位的倍数。如果G是整个灰度级数而图像大小是M×M，那么L’=[L×G/M]。设L=1时的盒子称为空间-灰度单元或单元。那么对于L=3，盒 子包括3×3×3=27个单元。假设我们用大小为Lmax的三维盒子覆盖三维空间，那么L=r×Lmax。改变参数r，我们得到：

(3)

也就是:NL～L-D　　　　　　　　　　　（4）

　　NL为覆盖灰度表面空间的盒子数。选取几个L值，在NL和L的双对数坐标图上作最小二乘法拟合可求得-D。但是当实际的图像分形维数（FD）非常高时，图像表面上的点在z方向上会分布很宽，从而导致估计FD值时的偏低。

　　基于等式（2），N．Sarkar[8][12]提出了一种与上面不同的计算Nr的方法，即差分盒计数法。考虑大小为M×M的图像被比例缩小到 s×s，这里M/2s>1且s是整数，那么有一个估计r=s/M。这里，与前面的叙述一样，将图像看成三维欧氏空间中的一个表面，其高度等于该点的 图像灰度值[11]。设三维空间中的二维平面（x，y）被划分成大小为s×s的网格，则每个网格上有一个尺寸为s×s×s’的盒子列。如果灰度级的总体数 量是G，那么G/s’＝M/s。设图像在点（i，j）处的最小和最大灰度值落入序号为k和l的盒子中，那么nr=l-k+1就是在第（i，j）个网格处的 Nr。

　　　　　　　（4）

　　这里Nr用的r不同值（即s不同），在log（Nr）和log（1/r）的对数坐标图上用最小二乘法拟合后的直线斜率值即为分形维数D。

　　用这种在空间和时间上量化的方法计算Nr的准确性比Gangepain采用的方法高，是由于这样计算对于盒子和图像灰度表面的交叉部分给出了更 好的近似。这里需要特别说明的是，当图像邻域内有剧烈的灰度变化时，Gangepain的盒计数方法不能很好地覆盖图像的表面，这会导致对粗糙纹理表面无 法准确计算其分形维数，从有可能出现数值上的很大误差。

3　人体肺部软组织CT图像的分维数估算结果

　　目前对分维数的计算方法很多，如：差分盒计数法、地毯覆盖法、功率谱方法、网状的单元计数法和概率估计等，但它们都有各自不足的地方，如分形维 数动态范围的覆盖等问题。相对比较而言，差分盒计数方法是最好的。下面就采用这种方法来对肺部软组织的正常情况和肿瘤情况的CT图像进行分形特征分析，看 正常情况的肺部软组织和肿瘤病变组织的分形维数所表现出来的特征有何区别。

　　设在差分盒计数法中的第（i，j）个盒子列中，图像表面灰度值中的最大值和最小值分别落入同一盒子列中的第l个盒子和第k个盒子，那么单一盒子列中的盒子数由下式[12]给出，现重写如下：

nr（i，j）=l-k+1　　　　　　（5）

　　那么整幅灰度图像所包含的盒子数为

(6)

则图像的分维数D由下式给出：

(7)

下面将计算所得到的分形维数列于表1上。表中用来计算的图像样本数均是20个，本文在表中给出计算肺部软组织的分维数值的同时，也给出了计算分维数值时的线性拟合标准差SD和方差Var。图2分别列出了计算相应分形维数的双对数坐标图。

表1　肺部正常软组织和肿瘤软组织的分形维数（DBC算法）

4　结论

　　从表中的分形特征值（分维数值）可看出：

4．1　正常肺部软组织的分维数值大约在2．18左右，而癌变软组织的分维数大约在2．30左右；

4．2　同一脏器软组织的分维数值与它们所处的位置无关，无论是肺左叶或肺右叶，左上肺或右上肺，它们的分维数值只与组织所表现出来的性质有关，即：是正常组织还是癌变组织；

4．3　从表中的分维数值的大小，可以很直观地反映出组织的一些特性值。从而，可得出这样的结论：组织的分维数值从某种意义上代表了组织的一些纹理特征。

　　从上面的结论中可看出，分维数能很好地反映出肺部软组织CT图像的纹理特征，病变组织的分维数高于正常组织的分维数，所以在对肺部CT图像进行 诊断时，可以把图像的分维数值作为区分正常组织与病变组织的参考值，特别是对医学图像的计算机辅助诊断方面具有重要的临床意义。